Аннуитет для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов
Перейти к содержимому

Аннуитет для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов

  • автор:

Теория аннуитетных потоков как основа практики эффективных финансовых расчетов

В статье рассматриваются научно-практические основы формирования и оценки аннуитетов: сущность, виды и алгоритмы расчета. Проводится сравнительная оценка эффективности альтернативных видов финансовых вложений и делается выбор в пользу оптимального аннуитетного потока поступлений и платежей. В целях объективного учета инфляции в российской практике на конкретных примерах применяется метод дефлирования аннуитетных поступлений по вариантам проектов.

Проведение эффективных финансовых расчетов тесно связано с проблемой выбора математического аппарата для оценки и обоснования вложений в инвестиционные проекты, основу которых формируют аннуитетные потоки. Аннуитетные денежные потоки – одна из форм движения финансовых ресурсов, которая поразному воздействует на процессы принятия финансовых решений и получения эффекта в результате обоснования их экономической целесообразности.

Успешность расчетов, в свою очередь, зависит от выбранной методики определения чистого приведенного дохода или иного критерия оценки эффективности аннуитетов. Мы полагаем, что наиболее оптимальным является выбор динамических методов оценки аннуитетных потоков, поскольку они учитывают все реальные процессы изменения показателей рыночной конъюнктуры во времени.

Доминирует мнение о том, что действительно одной из ключевых дефиниций в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета. Анализируя современную экономическую литературу, можно согласиться с мнением ученых о том, что аннуитет – ежегодные, равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определенные промежутки времени в счет погашения кредита, займа и процентов по ним [1; 6; 7].

Существуют взгляды, согласно которым известны два подхода к определению аннуитета: первое определение сводится к характеристике аннуитета как однонаправленного денежного потока, элементы которого имеют место через равные временные интервалы; второй подход заключается в трактовке определенных ограничений, а именно аннуитет – это не только однонаправленный денежный поток, но и поток с одинаковыми по величине элементами.

А.Ф. Ионова и Н.Н. Селезнёва рассматривают аннуитет как поток однонаправленных платежей (серии потоков поступлений, или выплат) с равными интервалами времени между последовательными платежами в течение определенного периода (количества лет). При этом ученые обозначают аннуитет как финансовую ренту [3].

Итак, обобщение теоретических взглядов на исследуемую проблему позволяет сгруппировать основные параметры аннуитета. К ним следует отнести числовые характеристики, сущность и содержание которых представлены на рис. 1.

Общеизвестно, что параметрами аннуитета выступают: член аннуитета – денежные поступления или платежи; период аннуитета – интервал времени, через который производятся платежи или осуществляются поступления; срок аннуитета как длительность притоков и оттоков, формирующихся в рамках аннуитета.

Важное значение для обеспечения эффективности финансовых расчетов имеет классификация аннуитетных потоков. Так, на практике выделяют два основных их вида, которые различаются по уровню срочности. Бессрочные аннуитеты – денежные потоки, которые не ограничены во времени. Примером бессрочных аннуитетов может быть: сдача недвижимости в аренду на длительный срок (50 лет и более). Существует общепризнанное правило, в соответствии с которым, если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. Поэтому срочные аннуитеты – платежи, которые регулярно поступают по истечении очередного периода. Например, платежи за пользование землей, имуществом и другими материальными благами и услугами. Однако с теоретической точки зрения может быть большее количество классификационных критериев при группировке аннуитетных потоков. Говоря о них, нельзя не отметить потоки «пренумерандо» и «постнумерандо». Аннуитет, именуемый «пренумерандо», характеризуется суммой авансовых поступлений, например платежи за аренду производятся в начале каждого месяца. Другой пример аннуитета «пренумерандо» – осуществление в начале каждого месяца одинакового по величине вклада на депозитном счете в банке с целью накопления средств для инвестирования в покупку недвижимости (иных объектов собственности). Для аннуитета «постнумерандо», т.е. после совершения хозяйственной операции или после свершения сделки, характерно осуществление равновеликих платежей или поступлений в конце каждого периода. Например, одинаковые платежи за пользование кредитом в банке в конце каждого месяца. В теории аннуитета выделяют подход к определению его наращенной величины – суммы всех членов потока платежей (поступлений) с начисленными на них процентами на конец срока (на дату последнего поступления). Иллюстрация схемы наращенного аннуитета представлена на рис. 2.

Формализация наращения процентов по аннуитету выражается следующей экономико-математической моделью (1):

где – сумма наращения (будущая стоимость аннуитета);
– ставка процента;

  • – член аннуитета;

где – коэффициент наращения аннуитета.

Широкоизвестный в теории инвестирования и практике финансового анализа п

роцесс дисконтирования, обратный методу наращения, применяется и для аннуитетов. В этой связи отметим, что наряду с понятием «наращенная сумма» в теории аннуитетов существует определение «текущая стоимость аннуитета».

Так, текущая стоимость аннуитета (PVa) может трактоваться как современная величина платежей или поступлений, равная результату алгебраического сложения всех членов аннуитета, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на момент времени, совпадающий с началом потока денежных средств – формулы (3) и (4):

где – коэффициент дисконтирования аннуитета.

В целях трактовки теории аннуитетов воспользуемся примером. Предположим, что в 2014 г. фирма привлекала заемные средства в размере 60 млн руб. на 10 месяцев, при этом в ее обязательства входила уплата долга равномерными платежами по ставке 8%. Произвести расчет аннуитетных платежей можно воспользовавшись формулой (5):

где n – количество периодов выплат (месяцев).

Общеизвестно, что аннуитет рассчитывается с помощью коэффициента аннуитета (5), который распределяет величину текущей стоимости PVa на равные суммы платежей. Таким образом, фирме необходимо рассчитать ежемесячные платежи с учетом процентов исходя из следующего выражения:

Графический пример приведения (дисконтирования) аннуитетных потоков показан на рис. 3.

Приведенная схема характеризует поведение кредитора с позиции «рационального инвестора», вкладывающего капитал с целью получения будущих экономических выгод.

Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, как отмечают Г.Н. Ронова и Л.А. Ронова, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды [5].

Поэтому аренда, в том числе и финансовая, а также инвестиционные проекты в области рекламы и внешнеэкономической деятельности могут явиться предметом сделок, в рамках которых возможно эффективное формирование аннуитетных потоков поступлений или платежей.

С учетом объективных условий и требований к аннуитетным потокам рассмотрим различные варианты финансовых вложений фирмы в целях выбора наиболее рационального проекта (табл. 1).

Как показано в табл. 1, существуют альтернативные варианты формирования аннуитетных потоков, оказывающих различные воздействия на конечный финансовый результат, рассчитываемый на этапе прогнозирования. В качестве примера представлены три варианта финансовых вложений, обладающих различной степенью новизны, долговечности, инвестиционной привлекательности и различной суммой аннуитетных поступлений при реализации проектов. Для проведения сравнительной оценки необходимо сопоставить затраты на реализацию каждого варианта проектов и будущих аннуитетных поступлений. При этом нельзя игнорировать роль инфляционных процессов. Так, инфляция за период финансовых вложений характеризовалась следующей динамикой (рис. 4). Инфляция в июне 2014 г. замедлилась до 0,6% против 0,9% в предыдущем месяце, но превысила прогноз Минэкономразвития России (на уровне 0,5%). Инфляция в годовом выражении по состоянию на конец июня ускорилась до 7,8% (по сравнению с 7,6% в мае) [2].

Как показано на рис. 4, процент инфляции характеризуется разными значениями в зависимости от конкретного интервала времени. Так, в феврале 2014 г. рост цен отличается более высокими скачками (2%), а с апреля по июнь достигается уменьшение темпа роста цен, так как инфляция сохранялась на уровне 0,6–0,9%. Действительно, вследствие роста цен в «обостренные» с точки зрения сезонности периоды продажи на отдельных рынках носили ярко выраженный характер, особенно в топливно-энергетическом комплексе, АПК и сельском хозяйстве, пищевой промышленности и др.

Произведем оценку дефлированных аннуитетных потоков при каждом варианте финансовых вложений, при этом будем использовать правило: значения этих величин в прогнозных ценах на некотором шаге m (в нашем случае конкретный месяц) делятся на индекс цен, относящийся к тому же шагу [4]. Дело в том, что формирование дефлированных аннуитетных потоков – это вынужденная мера, обеспечивающая трансформацию финансовых потоков, рассчитанных в ценах текущего периода, в постоянные цены (рис. 5). Она обеспечивает независимость, аналитическую полезность и достоверность результатов прогнозирования и планирования финансовых вложений.

Сообразно представленным на рис. 5 иллюстрациям реальных денежных потоков на практике вызывает интерес процесс дефлирования.

Практику аннуитетных платежей или поступлений целесообразно рассматривать сквозь призму теории, в которой можно найти новые идеи и концепции финансовых расчетов. Так, в современной научной литературе [6; 7] существует понятие так называемого эквивалентного аннуитета.

Эквивалентный аннуитет – это уровневый (стандартный) аннуитет, который имеет ту же продолжительность, что и оцениваемый инвестиционный проект, и такую же величину текущей стоимости, что и NPV (чистый дисконтированный доход) инвестиционного проекта.

Прежде всего укажем, по какому алгоритму целесообразно осуществлять данного вида финансовые расчеты:
1) исчисляется эквивалентный аннуитет по формуле (6) по каждому варианту финансовых вложений;
2) сравниваются значения эквивалентного аннуитета по каждому варианту вложений и определяется, какое из них обладает наименьшей и наибольшей величиной;
3) делается вывод об экономической целесообразности варианта финансовых вложений по максимальному размеру эквивалентного аннуитета:

где EA – размер эквивалентного аннуитета;
NPV – сумма чистого дисконтированного дохода;
n – порядковый номер шага расчетного периода;
i – цена капитала, инвестированного в проект (%).

Для выполнения алгоритма указанных действий, и прежде всего в целях расчета NPV, воспользуемся данными, сведенными нами в табл. 2.

Как показано в табл. 2, наибольшее значение NPV имеет проект аннуитетных поступлений при варианте I – 0,63 млн руб.

Следовательно, по данному критерию оценки из трех альтернатив предпочтительнее вариант I. Расчет эквивалентного аннуитета (рис. 7) показывает, что при варианте I финансовых вложений (EA = 0,13 млн руб.) фирма обеспечит большую экономическую эффективность.

Таким образом, наилучшим из трех представленных вариантов способом формирования аннуитетных потоков является заключение договора о финансовой аренде имеющегося на балансе организации автомобильного транспорта и передаче его в лизинг на 7 месяцев в общеустановленном порядке.

Для оптимизации финансовых решений по вопросу выбора наилучшего варианта аннуитетных поступлений нами разработана матрица, которая позволяет выявить зависимость экономических выгод от варианта вложения денежных средств в проекты, предусматривающие аннуитетные поступления или платежи.

Представленная матрица (табл. 3) иллюстрирует влияние выбранного варианта финансовых вложений и соответствующего варианта аннуитетных потоков на конечный финансовый результат и его значимость для бизнеса исследуемой фирмы.

Так, прибыль от операционной (основной) деятельности и спонсорская прибыль (безвозмездные поступления от меценатов) наблюдаются при 1-м варианте сделки – услуги по финансовой аренде. В отличие от других вариантов данная форма аккумулирования аннуитетных потоков способствует зарабатыванию больших финансовых выгод, что выражается не только степенью важности получаемой операционной прибыли, но и тем, что источников доходов здесь больше, чем при альтернативах. Отслеживание эффекта по каждому варианту аннуитета создает возможность определения наибольшего значения потенциального финансового результата и дает основание сделать вывод о целесообразности вложений в соответствующий вариант аннуитетных денежных поступлений. Прибыль от продаж, которую формируют аннуитеты в рамках 1-го варианта, не наблюдается ни во 2-м, ни в 3-м вариантах. Хотя общеизвестно, что именно этот вид экономических выгод составляет львиную долю в структуре всех финансовых результатов. Очевидно, что выигрышным из всех трех вариантов является 1-й вариант не только по причине наибольшего количества (3) видов прибыли, включенных в суммарный эффект, но и в силу весомости этих финансовых результатов.

Таким образом, используя научно-практический инструментарий классификации, оценки, анализа и прогнозирования аннуитетных потоков, применяя комбинации в области нетрадиционных финансовых расчетов аннуитетных поступлений и платежей, современные компании (фирмы) способствуют максимизации своего благосостояния, повышению эффективности использования капитала, инвестированного в различные бизнес-проекты.

Литература
1. Губанов Р.С. Денежные потоки и риски в системе финансового менеджмента предприятий молочной промышленности // Финансовый менеджмент. – 2014. – № 2. – С. 110–116.
2. Ежемесячный обзор рынков / Закрытое акционерное общество «ТРП – финансовые решения», 6 июля 2014 г.
3. Ионова А.Ф., Селезнёва Н.Н. Финансовый анализ: учебник. – М.: ТК «Велби»; Изд-во «Проспект», 2006. – 624 с.
4. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов. Вторая редакция, испр. и доп., утв. приказом Министерства экономики РФ, Министерства финансов РФ, Государственного комитета РФ по строительной, архитектурной и жилищной политике от 21 июня 1999 г. № ВК 477 // СПС «Гарант».
5. Ронова Г.Н., Ронова Л.А. Финансовый менеджмент: учеб.-метод. комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. – 170 с.
6. Староверова Г.С. Экономическая оценка инвестиций: учеб. пособие для студентов вузов / Г.С. Староверова, А.Ю. Медведев, И.В. Сорокина. – 3-е изд., стереотип. – М.: КНОРУС, 2010. – 309 с.
7. Финансовый менеджмент: учебник / коллектив авторов; под ред. Н.И. Берзона и Т.В. Тепловой. – М.: Кнорус, 2013. – 656 с.

Также по этой теме:

  • Книги по этой тематике в разделах: Аудит, анализ, и управленческий учет, Экономика и финансы
  • Другие статьи по этой тематике

Как рассчитать аннуитетный платеж по кредиту

Аннуитет — график погашения кредита, предполагающий выплату основного долга и процентов по кредиту равными суммами через равные промежутки времени. Это один из самых простых способов для расчета графика платежей, позволяющий точно определить сумму ежемесячных выплат и спланировать бюджет.

Команда Райффайзен Банка

Для заемщика он удобен:

  • равномерной и понятной финансовой нагрузкой — проще запомнить одну цифру, чем каждый раз носить с собой график платежей;
  • доступностью — кредит c аннуитетом можно взять в любом банке;
  • высокой вероятностью одобрения — требования к заемщикам мягче чем при выборе дифференцированного платежа.

Как рассчитать аннуитетный платеж

Есть несколько способов самостоятельно выполнить расчет аннуитетного платежа: вручную или в онлайн-сервисах с помощью кредитного калькулятора. Для расчета надо знать всего три параметра: сумму, процентную ставку и срок займа.

При ручном подсчете с помощью обычного калькулятора или программы MS Excel вам придется самостоятельно выводить формулы и подставлять в них значения. Онлайн-калькуляторы на сайтах банков — простой и наглядный инструмент, который мгновенно пересчитывает сумму ежемесячного платежа при изменении суммы, ставки или срока кредита. Он позволяет быстро сравнить условия разных банков и продуктов и выбрать наиболее выгодное предложение.

Аннуитет по кредиту — что это?

Аннуитет по кредиту — что это?

Тенденции развития современного общества привели к тому, что те понятия, которые не так давно использовались главным образом в учебниках по экономической теории, стали все чаще встречаться в повседневной жизни. Одним из таких терминов является аннуитет, который все более активно стали использовать в сфере кредитования. Данный инструмент является достаточно выгодным, поэтому есть смысл познакомиться с его отличительными особенностями и способами расчета более подробно. Об этом и пойдет речь в данной статье.

Что такое аннуитет?

Аннуитет это — схема платежей, в соответствие с которой они производятся в одинаковом размере в соответствие с конкретным графиком выплат (а именно на постоянной основе через равные промежутки времени). Таким образом, можно представить аннуитет как поток одинаковых платежей, которые осуществляются через равные временные интервалы.

По аннуитетному виду платежа предполагается что выплаты осуществляются равными суммами через равные промежутки времени. Сумма аннуитетного платежа состоит из двух частей:

Кредит «Рефинансирование»
Хоум Банк, Лиц. № 316

Кредит «Рефинансирование»

Получить кредит

  • Процентная часть, которая идет на оплату процентов пользования заемными средствами.
  • Остаточная часть, которая направляется на оплату основного долга по кредиту.

Аннуитет позволяет сделать величину платежа, который включает в себя не только проценты за период, но и часть основного долга, постоянной. Это дает возможность плательщику заранее оценить свои силы и запланировать выплаты определенной суммы денежных средств в течение оговоренного срока.

Основным отличием от так называемого дифференцированного платежа является то, что при использовании последнего в первую очередь выплачивается полная сумма начисленных за использование кредитных средств процентов, а потом уже основной долг.

Отметим, что принцип аннуитета используется не только в кредитовании, но и для лизинговых платежей.

Какие выделяют виды аннуитета?

Для лучшего понимания использования аннуитета следует рассмотреть, какие его виды существуют. Так, можно отметить наличие следующей классификации:

  • отложенный – в данном случае первая выплата производится в конце начального периода;
  • немедленный – платеж осуществляется в начале нулевого периода.

Если говорить об аннуитете, используемом в сфере кредитования, то здесь имеет место отложенный аннуитет.

Кроме этого, распространенно выделение различных видов стоимости аннуитета, а именно:

  • приведенная;
  • будущая стоимость аннуитета.

Такое деление обусловлено стремлением определить максимально объективную ценность денежных средств, которые направлены на кредитование. Как будущая, так и текущая стоимость аннуитета рассчитывается определенным образом с использованием конкретных формул. Проводимый расчет текущей стоимости аннуитета зависит от ряда факторов.

Стоит отметить, что в силу теории о том, что с течением времени денежные средства могут обесцениваться в силу инфляции, имеет место такое понятие, как настоящая стоимость аннуитета. Также здесь играет роль упущенная выгода, ведь если бы кредитор оставил выданные денежные средства у себя, то он имел бы возможность получать доход в виде процентов по вкладу.

Формула расчета аннуитетного платежа

Формула аннуитетного платежа:

Аннуитетный платеж

  • A – ежемесячный аннуитетный платеж;
  • K – коэффициент аннуитета;
  • S – сумма кредита.

Расчет коэффициента аннуитета:

Коэффициент аннуитета

  • K – коэффициент аннуитета;
  • i – месячная процентная ставка по кредиту (годовая ставка деленная на 12 месяцев);
  • n – количество периодов (месяцев), в течение которых выплачивается кредит.

Знание рассмотренной формулы позволяет провести требуемые расчеты, которые при наличии полных исходных данных не представляют собой особых сложностей. Очевидно, что для применения ее на практике необходимо учитывать некоторые принципиальные моменты. В их числе можно отметить, в первую очередь, принцип, по которому определяются доли основного долга и начисленных процентов в итоговом размере платежа. Для этого применяется определенная методика, которая предполагает прохождение несколько этапов расчета. Мы не будем на ней подробно останавливаться, отметим лишь общий принцип, в соответствии с которым производится расчет размера процентов и аннуитетного платежа, так же как и основного долга в виде разницы между этими двумя величинами для каждого месяца периода. При этом учитывается, что размер основного долга от месяца к месяцу снижается. Последний платеж требует отдельной корректировки в силу применения в процессе расчетов округлений.

Несмотря на равную величину платежей, соотношение суммы основного долга и начисленных процентов в их составе меняется. Если в начале основная доля приходится на проценты, то ближе к концу выплат остается погасить главным образом основную сумму долга.

Пример расчета аннуитетного платежа

Рассчитаем ежемесячный платеж по кредиту с аннуитетным графиком погашения под процентную ставку 24% годовых сроком на 2 года и на сумму 200 000 рублей.

Воспользуемся приведенными выше формулами:

Формулы расчета

Рассчитаем коэффициент аннуитета:

Коэффициент аннуитета

Теперь мы можем приступить к расчеты самого ежемесячного платежа. Подставим полученное значение коэффициента аннуитета:

Подстановка значения

Сумма ежемесячного платежа составила 10574.22 рублей.

Переплата по кредиту

Всего за 2 года банку будет выплачено 253 781.3 руб (10574.22 руб умноженные на 24 мес), а переплата составит 53781.3 руб.

Рассчитать кредит можно с помощью калькулятора кредита на нашем сайте.

МСФО, Дипифр

Формула аннуитета. Вечная рента. Это надо знать каждому! (не для банкиров)

annuity

В современном мире, где банковские продукты входят в жизнь любого человека, понимание сути финансовой математики и умение делать простые финансовые вычисления становится необходимым навыком. Но многие учебники и статьи по этой теме написаны сложным языком финансовых терминов и математических формул. Без терминов и формул, конечно, не обойтись. Однако объяснить суть вычислений можно простым языком, понятным любому человеку. Эта статья — продолжение статьи о дисконтировании денежных потоков. В ней речь пойдет об аннуитете (аннуитетных денежных потоках). Вечная рента, формула аннуитета — расчет текущей и будущей стоимости на простых примерах, объяснения для людей, а не для банкиров – об этом вы узнаете, прочитав данную статью.

Что такое аннуитет?

Услышав слово аннуитет, многие подумают о чем-то сверхсложном и недоступном для понимания. На самом деле всё просто, только слово иностранное.

Аннуитет – это серия одинаковых платежей через одинаковые промежутки времени. Этот термин представляет собой буквенный «перевод» английского слова annuity, что означает «fixed sum paid every year». Люди, владеющие английским языком, вспомнят еще слово «annual», которое в переводе означает «годовой». Оба этих слова происходят от латинского слова annuus – ежегодно. Таким образом, в самом слове аннуитет содержится указание на ежегодную периодичность платежей.

На временной линии (или шкале времени) аннуитетные денежные потоки можно изобразить, например, вот так (Рис. 1):

В настоящее же время аннуитетом называются не только серии одинаковых годовых платежей, но и любые последовательности одинаковых по сумме платежей вне зависимости от их периодичности. Это могут быть ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные платежи. Главным остаётся одно: аннуитет – это несколько одинаковых платежей (денежных потоков) через одинаковые промежутки времени. Например, зарплата. Если ваша зарплата постоянна в течение года, то ежемесячный приток денежных средств в виде зарплаты является аннуитетом с ежемесячным периодом выплаты. Другой пример: если вы покупаете какую-то вещь в рассрочку, то ваши ежемесячные платежи банку тоже будут аннуитетом.

Пренумерандо и постнумерандо

Еще немного терминов. Аннуитеты бывают пренумерандо и постнумерандо. Это красивые и загадочные термины обозначают всего лишь момент платежа: пренумерандо означает платежи в начале каждого временного периода, постнумерандо — в конце его. Эти термины, пришедшие к нам, судя по всему из латыни, используются в учебниках или в официальных бумагах. Я же буду говорить по-русски: денежные потоки с выплатой в конце года или в начале года.

В данной статье рассматриваются примеры расчета простых аннуитетов, в которых период платежа и период начисления процентов равны друг другу. То есть если проценты начисляются, например, за год, то и выплаты будут ежегодными. Или проценты начисляются ежемесячно, и платежи тоже осуществляются ежемесячно. Существуют аннуитеты, в которых эти периоды не совпадают (периоды выплат и периоды начисления процентов), но это более сложные вычисления. Я не буду их затрагивать. Всем, кто хочет разобрать эту тему досконально, лучше обращаться к учебникам по финансовой математике.

Дисконтирование и наращение

Для начала вспомним о том, что такое дисконтирование и наращение. Более подробно об этом рассказано в предыдущей статье. В ней речь шла о дисконтировании и наращении единичного денежного потока, то есть одной денежной суммы. Продисконтировать – это значит рассчитать текущую стоимость будущего денежного потока. То есть, если вам надо накопить определенную сумму к какой-то дате в будущем, то, применив дисконтирование, вы сможете рассчитать, сколько надо положить в банк сегодня.

Наращение – это движение из сегодняшнего дня в завтрашний: расчет будущей стоимости тех денег, которые у вас есть сегодня. Если вы положите деньги на банковский счет, то, зная банковскую ставку, вы сможете рассчитать, сколько денег у вас накопится на счете в любой момент времени в будущем.

Наращение и дисконтирование, конечно, неприменимы, если вы храните деньги дома. Все эти расчеты справедливы только тогда, когда вы можете инвестировать ваши деньги: положить на банковский счет или купить долговые ценные бумаги.

Дисконтирование и наращение применяются не только к одному денежному потоку, но и к последовательности денежных потоков, при этом денежные суммы могут быть любыми по величине. Частным случаем таких множественных денежных потоков и являются аннуитеты.

Формула аннуитета

Аннуитетные денежные потоки тоже можно дисконтировать и наращивать, то есть определять их текущую и будущую стоимости.

Например, это необходимо, когда нам нужно выбрать между двумя предлагаемых нам вариантами получения денег. Не зная основных положений финансовой математики, можно прогадать и выбрать заведомо невыгодный для себя вариант. Чем и пользуются более осведомленные участники финансового рынка, а именно банки.

Расчет аннуитета — дисконтирование

ПРИМЕР 1. Возьмем абстрактный пример. Допустим, вам надо выбрать, что лучше:

  • (А) получить 100,000 долларов сегодня или
  • (Б) 5 раз по 25,000 долларов в конце каждого из следующих 5 лет.

В сумме 5 * 25,000 = 125,000, что вроде бы лучше, чем 100,000 долларов. Но так ли это? Ведь у денег есть еще и «временная» стоимость. Банковская ставка в данный момент в данной стране, допустим, равна 10%.

Вариант (Б) представляет собой простой вариант аннуитета. Только не все знают, что это именно так называется. Чтобы сравнить эти два варианта между собой (что выгоднее?), надо привести их к одному моменту времени, поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость. Если дисконтированная стоимость аннуитета будет больше, чем 100,000 долларов, значит, второй вариант выгоднее при данной ставке процента.

В предыдущей статье мы научились дисконтировать одиночную сумму. Те же вычисления можно сделать и в этот раз, только придется повторить их 5 раз.

На данной шкале времени кроме платежа в сумме 25,000 нанесены соответствующие каждому периоду коэффициенты дисконтирования. Таблица коэффициентов дисконтирования приведена в предыдущей статье про дисконтирование.

Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая табличка:

  • 25,000*0,9091 = 22,727
  • 25,000*0,8264 = 20,661
  • 25,000*0,7513 = 18,783
  • 25,000*0,6830 = 17,075
  • 25,000*0,6209 = 15,523
  • Итого: 94,770

Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В целом пять платежей по 25,000 в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 94,770, что несколько меньше, чем 100,000 сегодня. Следовательно, 100,000 сегодня при ставке 10% будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 25,000.

Этот пример важен не только, чтобы еще раз продемонстрировать временную стоимость денег. Из таблицы становится ясно, как можно упростить вычисление дисконтированной стоимости аннуитета. Вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз:

25,000*(0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209) что аналогично 25,000*3,7908=94,770

Из этого примера легко вывести математическую формулу расчета дисконтированной стоимости аннуитета.

Сначала вспомним, как выглядит формула дисконтирования:

PV = FV*1/(1+R) n

Коэффициент дисконтирования равен 1/(1+R) n — это 0,9091, 0,8264 и т.д. в нашем примере.

Формула аннуитета (для расчета дисконтированной стоимости аннуитетных денежных потоков)

PV = FV*[1/(1+R) 1 + 1/(1+R) 2 + 1/(1+R) 3 + 1/(1+R) 4 +1/(1+R) 5 ]

И так далее, в зависимости от того, сколько у вас периодов времени.

Выражение в квадратных скобках можно представить математически, но вряд ли это нужно большинству людей. Это называется коэффициент аннуитета, или аннуитетный коэффициент дисконтирования, точное название не столь важно. В примере выше этот коэффициент равен 3,7908.

Гораздо полезнее уметь пользоваться таблицами таких коэффициентов для расчета приведенной (дисконтированной) стоимости аннуитетного денежного потока. Такие таблицы позволяют быстро решать простые задачи на дисконтирование аннуитетов. Пример такой таблицы дисконтирования приведен ниже:

annuity2

Если кому-то нужна точная формула аннуитета, точнее формула коэффициента дисконтирования аннуитета, то вот она:

Коэффициент дисконтирования аннуитета: 1/R — 1/(R*(1+R) n )

Дисконтированная стоимость аннуитета: PV= платеж умножить на коэффициент

Расчет аннуитета — наращение

В примере выше мы считали дисконтированную стоимость денежного потока. То есть приводили стоимость денежного потока к текущему моменту времени. Можно решать и обратную задачу – узнать будущую стоимость аннуитета (аннуитетного денежного потока).

ПРИМЕР 2. В нашем первом примере мы можем посчитать будущую стоимость обоих вариантов. Если перевести из области чистой математики в жизненную плоскость, то надо выбрать, что лучше:

  • (А) положить сегодня 100,000 долларов в банк под 10% годовых или
  • (Б) в конце каждого года делать взносы в сумме 25,000.

Для первого варианта можно воспользоваться таблицей коэффициентов наращения (она есть в предыдущей статье).

Для варианта (А) будущая стоимость считается просто: $100,000 через 5 лет будут равны 100,000*1,6105 = $161,050

Для варианта (Б) ситуация несколько сложнее.

Мы хотим узнать, сколько будет у нас на счете через 5 лет, если мы будем откладывать 25,000 в конце каждого года. То есть мы сделаем последний взнос и сразу же посчитаем, сколько мы накопили. Чтобы не ошибиться, лучше подписать коэффициенты наращения, соответствующие каждому году, на шкалу времени. Первый платеж будет сделан в конце первого года, это значит, что через 5 лет по нему будут наращены проценты только за 4 года. Соответственно, по второму платежу мы получим проценты за 3 года, по третьему – за два года, по четвертому – за один год, и, наконец, положив деньги в пятый раз, проценты по последнему взносу еще нее возникнут (то есть надо будет умножить на 1,10 в нулевой степени!)

25,000*(1,1) 4 +25,000*(1,1) 3 + 25,000*(1,10) 2 + 25,000*(1,10) 1 + 25,000 (1,10) 0 что равно

25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628

Будущая стоимость аннуитета (вариант Б) равняется $152,628, что существенно меньше, чем $161,050 (вариант А). Это означает, что выгоднее внести на банковский счет 100,000 долларов сегодня, чем делать взносы 25,000 в конце каждого из 5 следующих лет. Данный вывод справедлив для банковской ставки 10% годовых.

Для расчета будущей стоимости аннуитетных денежных потоков тоже имеются таблицы коэффициентов. В данном случае этой таблицей можно пользоваться для расчета аннуитетов с платежами в конце временного интервала (т.е. постнумерандо).

FV annuity postnum

Для любителей математики формула аннуитета для расчета его будущей стоимости выглядит так:

Коэффициент наращения аннуитета: FV = платеж умножить на коэффициент,

где коэффициент равен: [(1+R) n – 1]/R

Это был аннуитет с платежами в конце каждого года (постнумерандо).

ПРИМЕР 3.Можно рассмотреть и другой пример. Сколько мы накопим на счете в банке, если будем вносить по 25,000 в начале каждого года, а не в конце? Это будет так называемый аннуитет пренумерандо, назовем его вариант В. Этот денежный поток можно изобразить на шкале времени таким образом:

Как видно из рисунка, платежи по 25,000 делаются в начале каждого годового периода. Например, вы решили класть на счет в банке по 25,000 каждый год 1 января. Первый платеж принесет нам проценты за 5 лет, второй — за 4 года, третий — за 3 года, четвертый — за 2 год и, наконец, платеж, сделанный в начале пятого года, принесет нам проценты за один год. Коэффициенты наращения я взяла из соответствующей таблицы, которую можно открыть по ссылке.

25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000*6,7156 = 167,890

Таким образом, если начинать вносить 25,000 каждый год в начале годового периода и делать это в течение 5 лет, то через 5 лет сумма на счете будет равна $167,890. Этот вариант В выгодней, чем варианты А и Б, которые были рассмотрены раньше.

  • Вариант А — $100,000, внесенные сегодня, накопят на банковском счете через 5 лет только 161,050
  • Вариант Б — $25,000, внесенные на счет в конце каждого из 5 последующих лет, накопят через 5 лет только $152,628

Как видно из двух последних примеров, большое значение имеет момент, когда производятся платежи: в начале или в конце периода. Поэтому, если нужно рассчитать дисконтированную или будущую стоимость любых денежных потоков, желательно рисовать шкалу времени, на которой отметить суммы и коэффициенты, соответствующие каждому периоду.

Как эти расчеты могут пригодиться в жизни?

В примерах выше были разобраны абстрактные примеры аннуитетов. Но с аннуитетными денежными потоками мы встречаемся и в реальной жизни. Например, интересно будет рассчитать, сколько удастся накопить на сберегательном счете, если откладывать каждый месяц часть зарплаты. Подобным же образом можно будет рассчитать, скажем, дисконтированную стоимость всех платежей по автокредиту. Выплаты банку при покупке автомобиля (и не только автомобиля) в кредит представляют собой аннуитет. Его дисконтированная (приведенная к сегодняшнему дню) стоимость — это и будет стоимость приобретаемого автомобиля. Можно точно узнать, сколько вы переплачиваете при покупке машины в кредит в сравнении с вариантом покупки с уплатой полной суммы сразу. А также можно будет сравнить кредитные предложения разных банков. Единственная проблема в таких расчетах – выбрать правильную месячную ставку дисконтирования.

Вечная рента

Вечная рента — это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного срока. Другими словами – это серия одинаковых платежей, которая продолжается вечно. Такой вариант возможен, если, например, у вас есть вклад в банке, вы снимаете только ежегодные проценты, а основная сумма вклада остается нетронутой. Тогда, если ставка процента по вкладу не меняется, у вас будет так называемая вечная рента.

В викторианскую эпоху все английские аристократы жили на проценты со своего капитала. Чем больший капитал лежал в банке, тем большие средства можно было потратить на жизнь и при этом не работать. Капитал переходил по наследству, и теоретически (если бы не было банкротств банков, войн и инфляции) так могло бы продолжаться вечно.

Будущая стоимость вечной ренты не имеет смысла, так как платежи продолжаются неограниченно долго. Однако текущая стоимость вечной ренты является конечной суммой, которую можно вычислить по формуле:

PV = платеж/R,

где R – это банковская ставка %, PV — текущая стоимость

Например, если хочется снимать со счета проценты в сумме 500,000 рублей в год, а годовая банковская ставка составляет 8%, то это значит, что сумма вклада на банковском счете должна быть равна:

500,000/0,08 = 6,250,000 рублей (PV).

В этом случае (если у банка не отберут лицензию или банк не обанкротится сам) можно снимать такие проценты постоянно на протяжении неограниченного периода времени. Единственное, что может нарушить такую идиллическую картину, — это инфляция, благодаря которой деньги обецениваются. Поэтому с течением времени снимаемые проценты будут приносить всё меньше материальных благ.

Философское отступление для тех, кто дочитал до этого места.

Чтобы рента была вечной, нужно сохранять капитал, с которого мы получаем эту ренту. Этот закон действует не только в финансовом мире. Человечество живет за счет природной ренты – оно пользуется ресурсами планеты, которые, к сожалению, исчерпаемы. Если брать от природы слишком много, природная рента иссякнет. Истощение земных ресурсов происходит на наших глазах.

При традиционном рыболовстве рыбу ловили понемногу, но это могло продолжаться вечно. Индустриальные города требуют рыбу определенного сорта и качества, для вылова которой применяется промышленный рыболовный флот. Крупные суда гонятся лишь за прибылью и не уважают океан. В настоящее время 80% мест промысловых районов Европы истощены. По расчетам ученых к 2050 году промышленное рыболовство сойдет на нет. Рыбная «рента» исчерпает себя. Много ли других ресурсов останется у человечества через 35-50 лет?

«Мир достаточно велик, чтобы удовлетворить нужды любого человека, но слишком мал, чтобы удовлетворить человеческую жадность» Махатма Ганди

Планета Земля – это наш единственный дом. Думаем ли мы об этом?

Вы можете почитать другие статьи по данной теме:

Рассчитать свой потенциальный доход по вкладу можно самостоятельно, не полагаясь на калькуляторы дохода, которые размещены на сайтах банковских учреждений. В этой статье на конкретных примерах показано, как рассчитать доход по вкладу с капитализацией процентов (ежеквартальной, ежемесячной, ежедневной, непрерывной) и как рассчитать эффективную ставку по вкладам с капитализацией.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *